ChúngTa.com

Trong khoảng 2500 năm tồn tại của mình, toán học đã có những sự biến đổi đáng kể về chất. Những sự biến đổi đó đã diễn ra ở cả những khái niệm cơ sở cũng như trong cách lập luận toán học. Ở đây, cần chú ý rằng, khi đặt vấn đề lập luận toán học nói riêng và nghiên cứu khoa học nói chung, cùng với việc xác lập cơ sở nhận thức luận đảm bảo tính chân lý của các tư tưởng khoa học, các nhà khoa học thường lấy tính phi mâu thuẫn logic làmtiêu chuẩn chỉ đạo.

Những biến đổi nói trên có mối liên hệ chặt chẽ với những quan điểm triết học của các nhà toán học. Xuất phát từ những quan điểm triết học đa dạng và khác nhau, nhiều khuynh hướng trong lập luận toán học đã tiếp cận một cách siêu hình về bản chất của các tiền đề nhận thức luận của toán học và từ đó, đã dẫn tới những hạn chế cơ bản của lĩnh vực này. Từ thực tế đó, chúng ta có thể nhận xét rằng, chỉ có đứng trên lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng mới cho phép người ta thiết lập được vấn đề về lập luận toán học, xây dựng cơ sở phù hợp với bản chất của nó như một khoa học đang phát triển và đưa ra được những tiền đề nhận thức luận toán học một cách đúng đắn.

Trước hết, ta hãy tìm hiểu bối cảnh ra đời của lập luận toán học. Như chúng ta đã biết, ở trình độ lý thuyết, nhận thức khoa học nói chung, toán học nói riêng luôn phải sử dụng sự trừu tượng hoá. Toán học là khoa học sử dụng nhiều sự trừu tượng nhất và mức độ trừu tượng cũng đạt trình độ cao nhất. Thực vậy, trong lĩnh vực khoa học này, “sự trừu tượng có sức mạnh lớn nhất". Tuy nhiên, cho dù sự trừu tượng có được thực hiện "nghiêm túc", "đúng đắn" đến đâu thì các tri thức nhận được vẫn có khả năng xa rời hiện thực. Vì vậy, để đảm bảo tính chân lý, tức lập luận cho tính hợp lý của các tri thức nhận được, chúng ta cần phải xác lập cơ sở của chúng. Tuy nhiên, đây mới chỉ là lý do thứ yếu và tính cấp bách của vấn đề nằm ở chỗ khác. Sau phát hiện về đại lượng biến thiên của Đêcáctơ, người ta đã sử dụng phép tính tích phân và vi phân để nghiên cứu về vận động. Ta có thể mô tả việc nghiên cứu này như sau:

Người ta sử dụng hàm số. S = f (t) để biểu thị vận động.

Vận tốc tức thời tại một thời điểm cụ thể ti nào đấy là đạo hàm bậc nhất của hàm số tại thời điểm đó: V(t1) = f^/(t1).

Gia tốc tức thời của vận động là đạo hàm bậc hai: a(t1) = f^/(t1).

Như vậy, lần đầu tiên người ta đã sử dụng các công cụ toán học, các phương pháp chặt chẽ, chính xác để nghiên cứu về vận động nói riêng, về cái biện chứng khách quan nói chung. Đặc biệt là với phương thức nghiên cứu như vậy, người ta đã thu nhận được một khối lượngđồ sộ các thànhtựu toán học.

Trong khi sử dụng những phương pháp chính xác và chặt chẽ vào nghiên cứu các quá trình có kết quả như vậy, thì một vấn đề gâylo ngại cho nhiều nhà triết học và toánhọc là: liệu việc sử dụng chúng để nghiên cứu các đối tượng đó có thích hợp không? Có gì mâu thuẫn giữa một bên là các phương pháp chính xác, chặt chẽ đến từng chi tiết và bên kia là những đối tượng sống động, phong phú, đa dạng (vận động) hay không? Chính tình hình đó đã buộc các nhà khoa học phải nghiên cứu vấn đề lập luận (thiết lập cơ sở) cho toán học.

Trong bối cảnh như vậy, nhà toán họcCantơ đã xây dựng môn lý thuyết tập hợp.Lý thuyết này được xem như công cụ để "khuôn” cái sốngđộng của vận động vào một "cáikhung" chínhxác, chặt chẽ.Có thể coi tư tưởng của ông về việc sử dụng lý thuyết tập hợp làm cơ sở cho sự lập luận toán học là một trong những ý tưởng đầu tiên để giải quyết vấn đề này. Tư tưởng cơ bản của Cantơ được thể hiện ở chỗ, khi sử dụng lý thuyết tập hợp vào lập luận toán học, điều quan trọng là tất cả các lý thuyết toán học hiện có sẽ được trình bày trên cơ sở của lý thuyết tập hợp. Phương pháp này được coi là phương pháp quy giản về lý thuyết tập hợp.Bản chất của nó được quy định ở chỗ, tất cả các thuật ngữ của bất kỳ lý thuyết toán học hiện có nào cũng đều có thể được quy về các thuật ngữ của lý thuyết tập hợp. Từ lợi thế đó, vấn đề còn lại là cần phải chuyển bất kỳ một mệnh đề nào của các lý thuyết toán học hiện có thành mệnh đề của lý thuyết tập hợp. Vì vậy, nhiệm vụ của việc sử dụng lý thuyết tập hợp để lập luận toánhọc là chỉ ra sự biếnđổi các mệnhđề của một lý thuyết toán học nào đấy thành các mệnhđề của lý thuyết tập hợp.

Do mỗi lý thuyết toán học đều bao gồm một tập hợp vô hạn những mệnh đề, nên một trong những khó khăn đầu tiên của việc thực hiện sự biến đổi như trên là ở chỗ, khó có thể giải thích một cách rõ ràng, minh bạch các phán đoán toán học bằng các thuật ngữ của lý thuyết tập hợp. Do đó, phương pháp quy về lý thuyết tập hợp của Cantơ cần phải được giả định trước bởi phương pháp tiênđề hoá các lý thuyết.

Trước những năm 30 của thế kỷ XX, việc bất kỳ một lý thuyết toán học nào cũng có thể được tiên đề hoá (xây dựng lại bằng phương pháp tiên đề) được xem là một điều đương nhiên. Ở đây, vấn đề quan trọng nhất là chọn ra được một số hữu hạn nào đó các tiên đề, trong đó bao chứa tất cả những thông tin cần thiết về các khách thể của lý thuyết. Từ hệ tiên đề đã chọn, chúng ta rút ra được tất cả các mệnh đề còn lại bằng con đường logic. Nói cách khác, bất kỳ một mệnh đề chân lý nào về các khách thể của lý thuyết cũng đều có thể được rút ra từ các tiên đề bằng con đường logic. Và như vậy, nhiệm vụ quy tất cả các lý thuyết toán học về lý thuyết tập hợp ít nhất cũng được thực hiện một cách đầy đủ với những lý thuyết sử dụng phương pháp tiên đề hoá. Tuy nhiên, điều cần lưu ý ở đây là, nếu bằng con đường logic thuần tuý thì cách lập luận toán học dựa vào lý thuyết tập hợp không thể thực hiện được triệt để, bởi một loạt các lý do:

Thứ nhất,người ta đã phát hiện thấy mâu thuẫn logic từ những định nghĩa các khái niệm cơ sở của lý thuyết tập hợp (tức là những mệnh đề cơ bản của nó). Một trong những mâu thuẫn đó đã được Rátxen tìm thấy và gọi là nghịch lý Rátxen.Thực chất của nghịch lý này là: dựa vào những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết tập hợp, người ta có thể đưa ra những khách thể như "tập hợp của tất cả các tập hợp", "tập hợp của tất cả các tập hợp không tự chứa mình với tư cách là phần tử của mình". Trên cơ sở những nguyên tắc của lý thuyết tập hợp, người ta hoàn toàn có thể đưa ra kết luận rằng, tập hợp của tất cả các tập hợp không chứa mình với tư cách là phần từ của mìnhlà tập con của chính nó. Phán đoán trên chỉ có thể hoặc là chân thực, hoặc là giả dối. Như vậy, ở đây đã xuất hiện một nghịch lý được sinh ra từ những cơ sở của lý thuyết tập hợp của Cantơ. Đương nhiên, mộtlý thuyết chứa đựng các mâu thuẫn logic thì không thể lấy làmcơ sở của toán học được.

Như vậy, trong lập luận của Canto, mâu thuẫn logic thường đi kèm với những nguyên tắc cơ bản của lý thuyết tập hợp, do đó, để loại bỏ mâu thuẫn trên thì ít nhất một trong số những nguyên tắc cơ bản của nó phải bị loại bỏ. Tuy nhiên, nếu điều này được thực hiện thì chắc chắn sẽ ảnh hưởng đến việc giữ lại nội dung quan trọng của lý thuyết tập hợp. Cho nên, giả sử rằng trong lý thuyết này, bằng một phương thức cải biến nào đó có thể chấp thuận mà người ta gạt bỏ được nghịch lý của Rátxen thì, xét từ góc độ nhận thức luận và logic học, điều đó cũng chưa phải là một sự luận chứng đầy đủ cho tính phi mâu thuẫn của lý thuyết tập hợp. Nhận định trên là chính xác, bởi vì lý thuyết tập hợp của Cantơ là lý thuyết có nội dung thuần tuý. Đối với những lý thuyết như vậy, chúng ta không thể có được khả năng nghiên cứu siêulý thuyếtchính xác tính phi mâu thuẫn về nội dung và hình thức của nó. Do đó, cũng không có sự đảm bảo một cách chắc chắn rằng lý thuyết tập hợp sẽ không chứa đựng những mâu thuẫn logic khác.

Tuy nhiên, có thể khẳng định rằng cách lập luận này có lợi đối với tất cả những trường hợp mà việc vận dụng các tập hợp và những định nghĩa của chúng không dẫn đến mâu thuẫn logic, chẳng hạn, với những loại tập hợp vô hạn khác nhau, như tập hợp các số thực, tập hợp các điểm gọi là đường, tập hợp những hình hình học… Trong những trường hợp đó, người ta đã loại bỏ việc nghiên cứu "tập hợp của tất cả các tập hợp không tự chứa mình".

Thứ hai,cách lập luận của Cantơ không giải quyết được vấn đề một cách triệt đểở chỗ, nó không được xem là cách lập luận có đầy đủ căn cứ. Nguyên nhân này bắt nguồn từ cơ sở của các lý thuyết toán học chưa được tiên đề hoá nhờ một hệ tiên đề hữu hạn, chẳng hạn như số học của các số tự nhiên là một ví dụ. Trong trường hợp này, chúng ta không thể mô tả toàn bộ các mệnh đề số học của các số tự nhiên bằng một hệ tiên đề hữu hạn nào đó. Từ đó, chúng ta nhận thấy rằng, những mệnh đề chân lý của số học các số tự nhiên sẽ tồn tại không phụ thuộc vào số lượng các tiên đề được định trước, dù cho hệ tiên đề có được bổ sung thêm đi chăng nữa, đồng thời, số học tiên đề là không đầy đủ về phương điện ngữ nghĩa. Các lý thuyết toán học tương tự như vậy cũng là không đầy đủ. Và, do đó, chúng ta chỉ có thể rút gọn từng phần của các lý thuyết toán học, chứ không thể khẳng định rằng tất cả toán học đang tồn tại đều được quy giản về lý thuyết tập hợp.

Về phương diệnlý thuyết,những khó khăn đại loại do các nghịch lý của lý thuyết tập hợp gây ra đã dẫn tới cuộc khủng hoảng trong lậpluận toánhọc. Có thể khẳng định rằng, mâu thuẫn logic của lý thuyết tập hợp Cantơ là nguyên nhân cơ bản của cuộc khủng hoảng này. Điều này được thể hiện ở chỗ, các cơ sở nhận thức luận của lý thuyết tập hợp bao gồm những nguyên tắc rất sâu sắc của sựlý tưởng hoá.Chính những nguyên tắc đó đã cho phép hình thành các khách thể của giới tự nhiên thứ hai, trong đó, có các tập hợp rất cần cho hoạt động nhận thức của con người. Trong khi đó, tính chân lý của các mệnh đề, kể cả các mệnh đề cơ sở của lý thuyết tập hợp, lạiđược xem xét bằng phương pháp phân tích những định nghĩa trừu tượng nên chưa có căn cứ đầy đủ. Do vậy, có thể thấy là những nguyên tắc nêu trên không có luận cứ đích thực và chúng cẩn có những sự thay đổi căn bản. Rất cuộc, những sự thay đổi này sẽ dẫn đến tính tất yếu phải thay đổi cơ sở nhận thứcluận của lý thuyết tập hợp, nghĩa là thay đổi những nguyên tắc lý tưởng hoá mà lý thuyết tập hợp sử dụng để thiết lập các khách thể của mình.

Cũng cần nói thêm rằng, tuy còn một số vấn đề chưa được giải quyết triệt để song cách lập luận trên vẫn được chú ý đặc biệt, vì trên thực tế,cho đến nay, người ta không bắt gặp các nghịch lý (mâu thuẫn) nào đáng kể. Bởi vậy, đến cuối thế kỷ XIX, lý thuyết tập hợp được xem là nền tảng của toàn bộ toán học cổ điển và "Chương trình quy giản toán học thuần tuý về lý thuyết tập hợp, về đại thể đã được hiện thực hoá". Song, để khắc phục những hạn chế nói trên, một số khuynh hướng lập luận toán học mới theo bản chất, người ta phải thông qua đã xuất hiện.

1. Chủ nghĩa Logic

Một trong những ý tưởng đầu tiên tìm lối thoát cho cuộc khủng hoảng trong cách lập luận toán học của Cantơ là con đường hạn chế những sựlý tưởng hoá màlý thuyết tập hợpđã sử dụngcủa Rátxen nhà logic học người Anh. Thực chất của sự hạn chế đó là việc ngăn cấm đưa vào lý thuyết tập hợp những khách thể tuỳ tiện, chẳng hạn như "tập hợp của tất cả các tập hợp không tự chứa mình với tư cách là phần tử của mình”.

Việc Rátxen thay đổi cơ sở nhận thức luận của toán học đã kéo theo sự thay đổi những cơ sở hiện có của lý thuyết tập hợp. Từ đó, lý thuyết tập hợp của Rátxen đã trở thành lý thuyết nghiên cứu các đối tượng và các tập hợp được phân loại thành những lớp dấu hiệu kế tiếp nhau. Vì vậy, người ta coi lý thuyết của ông là lý thuyết suy diễn hình thức.

Cách lập luận của Rátxen thường được gọi là chủ nghĩalogic. Tên gọi này là hợp lý bởi lẽ các thuật ngữ củalý thuyết tập hợpluôn luôn có thểđược giải thích nhưcác thuật ngữlogic và tính phi mâu thuẫn của cáclý thuyết toánhọc dựa vào tính phi mâu thuẫn củalogic học. Dựa trên những cơ sở của chủ nghĩa logic, người ta có thể xây dựng toán học dưới dạng nào đó mà nó được phân biệt một cách sâu sắc, toàn diện với toán học thông thường (còn gọi là toán học logic).

Tuy nhiên, chúng ta phải hiểu rằng, sự phân biệt này không đem lại những lợi thế tuyệt đối cho các cơ sở nhận thức luận của toán học. Vì, thứ nhất,do việc ngăn cấm những định nghĩa đưa đến mâu thuẫn logic mà vô hình trung, người ta đã loại khỏi toán học những khách thể và nhũng thành phần đóng vai trò cơ bản, trong khi bản thân chúng lại không đưa đến bất cứ một mâu thuẫn logic nào. Thứ hai,chính toán học logicđôi khi đã tiếp nhận một dạng quy giản không tự nhiên. Ví dụ, đối với một số lớp đối tượng, theo bản chất, người ta phải thông qua việc sử dụng số học các số tự nhiên để quy giản.

Việc tiếp nhận những cơ sở nhận thức luận của lý thuyết suy diễn hình thứcđã loại bỏ được những nghịch lý của lý thuyết tập hợp mà Rátxen và các nhà toán học, logic học khác đã phát hiện. Tuy vậy, chúng ta cũng không thể chứng minh được tính phi mâu thuẫn tổng quát của lý thuyết suy diễn hình thức bằng phương tiện siêu lý thuyết. Bởi vì, lý thuyết suy diễn hình thức là ngôn ngữ phong phú đến mức khiến những phương tiện siêu lý thuyết để chứng minh tính phi mâu thuẫn của nó đã tự hình thức hoá trong đó.

Những điểm thiếu chặt chẽ trong cách lập luận của chủ nghĩa logic là ở chỗ, tính chân lý của các tiền đề của lý thuyết suy diễn hình thức chỉ được xác nhận bằng phương pháp phân tích các định nghĩa và chỉ dựa trên cơ sở định nghĩa của các thuật ngữ xuất phát, mà không có bất kỳ quan hệ gì với hiện thực. Ngoài ra, sự quy giản toán học về logic họckhông thể thực hiện được đối với những trường hợp mà lý thuyết chưa được tiên đề hoá hữu hạn. Vì những lý do đó, lý thuyết suy diễn hình thức đã không đưa ra được những cơ sở có khả năng thoả mãn cho toàn bộ toán học. Do vậy, cách lập luận toán học dựa trên cơ sở của chủ nghĩa logic không phải là một cách lập luận hoàn hảo.

Nguyên nhân sâu xa dẫn đến tính không hoàn hảo này chính là những sự lý tưởng hoámà chúng ta đã đưa vào cơ sở nhận thức luận của lý thuyết suy diễn hình thức. Một mặt, những sự lý tưởng hoá đó đã làm thu hẹp một cách đáng kế đối tượng của toán học, mặt khác, chúng không giải quyết được triệt để vấn đề tính chân lý trong cơ sở nhận thức luận của bản thân lý thuyết suy diễn hình thức.

2. Chủ nghĩa hình thức

Những người theo chủ nghĩa hình thứcđã đưa ra một cách tiếp cận khác đối với vấn đề lập luận toán học. Người sáng lập ra khuynh hướng này là Himbơ - nhà toán học và logic học người Đức, sống vào giai đoạn cuối thế kỷ XIX đầu thế kỷ XX. ông cho rằng, cách lập luận một lý thuyết toán học cần phải độc lập với nội dung của nó và chỉ được dựa trên hình thức của lý thuyết mà thôi. Đồng thời, cũng theo quan điểm của chủ nghĩa hình thức, tính phi mâu thuẫn hình thứccủa lý thuyết toán học được xem như là tiêu chuẩn của sự lập luận. Việc chứng minh tính phi mâu thuẫn này đòi hỏi phải sử dụng phương pháp dẫn dắt tính phi mâu thuẫn của bất kỳ lý thuyết toán học nào, chẳng hạn như số học của các số tự nhiên, sau đó, nó lạiđòi hỏi phải được chứng minh bằng phương pháp hình thức một cách thuần tuý. Điều này đã làm hạn chế việc sử dụng các phương pháp khác để chứng minh tính phi mâu thuẫn của lý thuyết hình thức.

Theo chủ nghĩa hình thức, để thực hiện việc lập luận toán học, trước hết, người ta cần phải hình thức hoá mỗilý thuyết toánhọc, tách hình thức khỏi nội dung của nó dưới dạng thuần tuý bằng con đường trừu tượng hoá. Hình thức hoá tất cả các lý thuyết toán học nghĩa là sự dụng ngôn ngữ nhân tạo, ngôn ngữ ký hiệu để diễn tả các luận điểm toán học. Để thực hiện điều này, cần phải diễn tả các nội dung của lý thuyết toán học qua ngôn ngữ hình thức của nó. Nói cách khác, nhiệm vụ ở đây là xây dựng các lý thuyết toán học được hình thức hoá hoàn toàn về phương diện nội dung.

Khi chứng minh tính phi mâu thuẫncủa các lý thuyết hình thức được xây dựng thuần tuý bằng phương pháp hình thức hoá, chúng ta chỉ có thể sử dụng lý thuyết siêu toán họchữu hạn.Do nội dung hữu hạn của siêu toán học nên tính chân lý trong các mệnh đề của nó cần phải đạt được mức độ tối đa về tínhrõ ràng trực giác.Vì vậy, cách lập luận toán học của chủ nghĩa hình thức cần phải dựa trên sụ thiết lập tính chân lý trong siêu toán học. Từ đó, có thể thấy rằng, do cách làm này, mối liên hệ của các cơ sở nhận thức luận và logic trong toán học bị hạn chế và nó được chuyển sang siêu toán học mà ở đó, việc giải quyết vấn đề được tiến hành đơn giản và rõ ràng hơn.

Như vậy, nội dung của chương trình Himbơ đã giả định sự trừu tượng hoá vấn đề chân lý và các cơ sở nhận thức luận trong quá trình lập luận toán học nhờ ngôn ngữ nhân tạo, đồng thời, nó cũng giả định việc dịch chuyển những vấn đề đó từ toán học sang siêu toán học. Sự trừu tượng hoá nội dung của toán học không phải là sự gạt bỏ một cách đơn giản mà là mô tả nó qua hình thức, tức là sự hình thức hoá đã giả định việc làm sáng tỏ hoàn toàn nội dung. Với cách tiếp cận như vậy, những phần toán học đã hình thức hoá đương nhiên là được lập luận nhờ chương trình của Himbơ, những phần còn lại (chưa được hình thức hoá) sẽ phải dựa vào siêu toán học.

Mặc dù siêu toán học hữu hạn nghiên cứu các khách thể vật chất là những hàng ký hiệu, nhưng nó cho phép sự lý tưởng hóa khá sâu sắc về chúng. Điều đó được thể hiện ở chỗ: thứ nhất,giả định rằng khi cần thiết, những hàng ký hiệu có thể lớn bao nhiêu cũng được. Điều này có nghĩa là khả năng thực hiệnđược các khách thể của siêu toán học hữu hạn được giả thiết không chỉ là ở dạng thức tạimà còn cả ở dạng tiềm năng. Thứ hai,giả định rằng, các ký hiệu là những khách thể chính xác, chặt chẽ và không bị thay đổi trong quá trình suy luận. Thứba, giả định một cách xa hơn rằng, việc đánh giá các phán đoán về tính chất và quan hệ của các ký hiệu có thể được tiến hành trên cơ sở trực giác. Về thực chất, những sự lý tưởng hoá như thế đã xác định những tiền đề nhận thức luận của chủ nghĩa hình thức. Những tiền đề này sẽ quyết định các phương pháp và các tiêu chuẩn cho sự đánh giá tính chân lý của những phán đoán siêu toán học, và trên cơ sở đó, đánh giá tính chân lý của các phán đoán toán học.

Tuy vậy, chương trình của Himbơ về lập luận toán học không thể thực hiện được một cách hoàn hảo, bởi những nguyên nhân sau: thứ nhất,mặc dù qua hình thức ta có thể diễn tả nội dung của nó, nhưng đối với những lý thuyết phong phú, chẳng hạn như số học của các số tự nhiên, thì không thể mô tả chúng một cách đầy đủ, thứ hai,dường như không có khả năng chứng minh được tính phi mâu thuẫn của số học bằng phương pháp hình thức hoá thuần tuý nhờ những dữ liệu được rút ra bởi siêu toán học của Himbơ.

3. Chủ nghĩa trực giác.

Một khuynh hướng khác trong lập luận toán học là chủ nghĩa trực giácvới những đại biểu như L.E.Brauơ, A.Gâytinh... Chủ nghĩa trực giác đề cao tiêu chuẩn về tínhrõ ràng trực giáckhi đánh giá những giá trị chân lý của các phán đoán toán học. Tuy nhiên, khác với quan điểm của Himbơ, tiêu chuẩn về tính rõ ràng trực giác mà nhũng người theo chủ nghĩa nhà trực giác đưa ra lại có tính chất chủ quan hoàn toàn.Điều này được phản ánh ở chỗ, tính chất của sự lý tưởng hoá bị quy định bởi những cơ sở nhận thức luận của chủ nghĩa trực giác. Ngược lại, tính trực giác trong siêu toán học của Himbơ mang tính khách quan. Trong siêu toán học, các dạng ký hiệu được nghiên cứu một cách trực tiếp, nghĩa là các khách thể vật chất biểu thị qua ký hiệu có thể được lý tưởng hoá với mục đích nhận được các kết luận chung về mọi tính chất của chúng, chứ không phải được thực hiện một cách chủ quan.

Toán học trực giáckhác với toán học thông thường ở chỗ, một mặt, nó tiếp nhận những sự lý tưởng hoá về tính thực hiện được một cách yếu hơn- sử dụng vô hạn tiềm năng.Những sự lý tưởng hoá như vậy đã xác lập lên những tiền đề làmthành tiêu chuẩn để đánh giá các phán đoán toán học. Mặt khác, các nhà trực giác luận đã gắn kết những sự lý tưởng hoá này với cách giải thích duy tâm về tính rõ ràng trực giác trong việc đánh giá các phán đoán toán học. Trên thực tế, việc tiếp nhận sự lý tưởng hoá, ở dạng này hay dạng khác luôn phụ thuộc vào các nhiệm vụ của khoa học và của thực tiễn, chứ không phụ thuộc vào điều kiện có sự chỉ đạo nào đó của trực giác, như các nhà trực giác quan niệm.

Cơ sở nhận thức luận của toán học trực giác là sự tiếp nhận các nguyên tắc cho phép xây dựng những khách thể toán học dựa trên sự trừu tượng hoá tính thực hiện được một cách tiềm năng,đồng thời, cho phép sử dụng các phương pháp trực giác để đánh giá tính chân lý của các phán đoán toán học.

Trong lập luận toán học, những nhà trực giác quan niệm rằng, tất cả các khách thể được xây dựng nhờ những sự lý tưởng hoá sâu sắc hơn so với sự lý tưởng hoá mà họ khởi xướng đều nằm ngoài đối tượng của toán học. Khi đó, các tập hợp vô hạn thực tạibị gạt bỏ và chỉ những tập hợp vô hạntiềm năngmới thuộc về đối tượng của toán học. Độ tin cậy trong quan niệm trực giác về tính phi mâu thuẫn của toán học được thiết lập trên cơ sở dựa vào quá trình xây dựng các khách thể cho phép không dẫn đến mâu thuẫn logic.

Những người phê phán chủ nghĩa trực giác đã phát hiện thấy một thiếu sót chủ yếu của cách lập luận trực giác là, trong toán học trực giác, đối tượng của toán học thông thường đã bị thu hẹp lại. Trong khi đó, toán học thông thường có thểđược trực giác tiếp nhậnlại trở nên phong phú hơn, đa dạng hơn.

Như vậy, chủ nghĩa trực giác đã cố gắng xây dựng lập luận toán học bằng cách dựa vào những tiền đề nhận thức luận sử dụng vô hạn tiềm năng và loại bỏ khỏi toán học tất cả những gì không được thu gom lại trong phạm vi đó. Tuy nhiên, những điều này đã dẫn tới chỗ làm hạn chế tối đa các thành phần cơ bản cũng như làm thu hẹp phạm vi của toán học. Đó chính là điểm yếu nhất của chủ nghĩa trực giác.

4. Chủ nghĩa kiến thiết

Một khuynh hướng khác trong lập luận toán học đáng được lưu tâm là chủ nghĩa kiến thiếtvới những đại biểu như A.Triôtrờ, X.Clinhi, A.A.Máccốp...Khuynh hướng này cũng sử dụng vô hạn tiềm năngsong nó khác với chủ nghĩa trực giác, trước hết ở cách đặt vấn đề về lập luận các lý thuyết toán học. Từ quan điểm của những đại biểu theo trường phái này, chúng ta nhận thấy rằng, chủ nghĩa kiến thiết đã đặt vấn đề tách bộ phận cấu trúc của toán học và nghiên cứu nó ở dạng thuần tuý, xem đó là nhiệm vụ chủ yếu của mình. Điều này có ý nghĩa to lớn trong mối liên hệ với sự phát triển của toán học tính toán. Cách lập luận của chủ nghĩa kiến thiết đã giả định sự cần thiết phải xây dựng cấu trúc của những lý thuyết toán học đích thực.

Cũng giống như chủ nghĩa trực giác, nguyên tắc lý tưởng hoácủa chủ nghĩa kiến thiết bị hạn chế bởi những phạm vi của tính thực hiệnđược một cách tiềm năngtrong việc xây dựng các khách thể toán học. Tuy nhiên, tính hiệu quả của các quá trình xây dựng những khách thể toán học cũng như của sự đánh giá tính chân lý của các phán đoán về những khách thể đó được thể hiện trên cơ sở các định nghĩa được chính xác hoá nhờ các thuật toán,chứ không phải dựa vào tính trực giác chủ quannhư chủ nghĩa trực giác quan niệm. Do đó, tính rõ ràng trực giác của những khẳng định về các khách thể toán học kiến thiết hoàn toàn không liên hệ với một sự chỉ đạo nào bằng trực giác Nó được quy định bởi đặc trưng của những sự lý tưởng hoá mà chủ nghĩa kiến thiết sử dụng trong việc xây dựng các cấu trúc toán học.

Đương nhiên, xét từ góc độ những tiêu chuẩn của chủ nghĩa kiến thiết, cách lập luận này cũng không phải là đã hoàn hảo, bởi vì không phải tất cả toán học cổ điển đều được lập luận một cách đầy đủ. Ở đây vấn đề được đặt ra là những bộ phận không phải cấu trúc của toán học đã bị loại bỏ khỏi toán học. Những bộ phận đó, một cách đơn giản, không nằm trong đối tượng của toánhọc kiến thiết.Cho nên, việc cần lập luận hay vứt bỏ chúng (những bộ phận không phải cấu trúc) không phải là nhiệm vụ mà chủ nghĩa kiến thiết đặt ra. Như vậy, cũng tương tự như khuynh hướng trực giác, khuynh hướng (chủ nghĩa) kiến thiết trong lập luận toán học không tránh khỏi làm thu hẹp đáng kể đối tượng của toán học.

Từ những sự phân tích trên, chúng ta có thể rút ra nhận xét rằng, tất cả các khuynh hướng lập luận toán học được xem xét, một cách rõ ràng hoặc không rõ ràng, trực tiếp hay gián tiếp, cũng đều xuất phát từ nhữngsự lý tưởng hoáđược sử dụng khác nhau. Những sự lý tưởng hoá đó, một mặt, cho chúng ta phương thức để xây dựng các khách thể của toán học, đánh giá tính chân lý của những khẳng định về chúng, mặt khác, đặt ra nhu cầu của sự lập luận. Do sử dụng những sự lý tưởng hoá khác nhau, cho nên nảy sinh các phương thức lập luận khác nhau. Nhìn chung, mỗicách lập luận trên đều có những ưu điểm và khuyết điểm nhất định, mà không một phương thức nào trong số đó có thể đem lạicho chúng ta một cách lập luận hoàn hảo.

Theo quan điểm của chúng tôi, trên lập trường của chủ nghĩa duy vật biện chứng, chúng ta cần phải khai thác triệt để những ưu thế của từng cách lập luận nhằm đảm bảo cho sự phát triển của toán học phù hợp với những yêu cầu mà nhận thức khoa học và thực tiễn đặt ra. Với cách nhìn như vậy, các cách lập luận này bổ sung và thông nhất với nhautrong quá trình phát triển của toán học nói riêng, của khoa học nói chung. Chính vì vậy, cùng với việc vận dụng các cách lập luận khác nhau vào những bộ phận, lý thuyết toán học cụ thể, chúng ta cần chú ý tới giá trị thực tiễnmà các lý thuyết toán học cụ thể đem lại. Đồng thời, trong việc đánh giá tính chân lý của các tri thức toán học, bên cạnh những tiêu chuẩn logic mà các cách lập luận khác nhau đưa ra, chúng ta cần sử dụng triệt để tiêuchuẩn thực tiễn.Chỉ có như vậy, chúng ta mới đem lại cho toán học những cơ sở lý luận và thực tiễn vững chắc.